最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。—-乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》
1 日用而不知
来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：
用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：
之所以出现不同的值可能因为：
-
不同厂家的尺子的生产精度不同
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尺子材质不同，热胀冷缩不一样
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测量的时候心情起伏不定
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……
总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：
x = (10.2+10.3+9.8+9.9+9.8) / 5 = 10
日常中就是这么使用的。可是作为很事’er的数学爱好者，自然要想下：
-
这样做有道理吗？
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用调和平均数行不行？
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用中位数行不行？
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用几何平均数行不行？
2 最小二乘法
换一种思路来思考刚才的问题。
首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作
：
其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作 ：
每个点都向 做垂线，垂线的长度就是 ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：
因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：
总的误差的平方就是：
因为 是猜测的，所以可以不断变换：
自然，总的误差 也是在不断变化的。
法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833）提出让总的误差的平方最小的 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动。
这就是最小二乘法，即：
这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。
这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：
进而：
正好是算术平均数。
原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。
以下这种方法：
就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。
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